Возведение в степень степени

Возведение в степень степени

  • 26-07-2019
  • 0 Просмотров
  • 0 комментариев
  • 0 Рейтинг

Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.

Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a 5 :a = a 4 и a 3 :a = a 2 .
a 4 :a = a 3 a 2 :a = a 1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Читайте также:  Инфаркт от испуга

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3 ) = a 3 .

Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx. n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.

Читайте также:  Как снять лимфостаз руки

Квадрат a – b, есть a 2 – 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h есть a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 – b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a – h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 также, (a – h)(a – h) = a 2 – 2ah + h 2 .

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a 2 + 4ab + b 2 .

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Пример 3. Квадрат 3d – h, есть 9d2 + 6dh + h 2 .

Пример 4. Квадрат a – 1 есть a 2 – 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b) 2 .
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x) n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго – произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)] 3 , или a 3 .(b + d) 3 .

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a 2
Третья степень (-a) есть -a 3
Четвёртая степень (-a) есть +a 4
Пятая степень (-a) есть -a 5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a 2 есть a 2.3 = a 6 .

Для a 2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a 2 .

Четвертая степень a 3 b 2 есть a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третья степень 4a 2 x есть 64a 6 x 3 .

Пятая степень (a + b) 2 есть (a + b) 10 .

N-ая степень a 3 есть a 3n

N-ая степень (x – y) m есть (x – y) mn

Читайте также:  Кровь попала в легкие

(a 3 .b 3 ) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4 ) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a -2 есть a -3.3 =a -6 .

Для a -2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертая степень a 2 b -3 есть a 8 b -12 или a 8 /b 12 .

Квадрат b 3 x -1 , есть b 6 x -2 .

N-ая cтепень ax -m есть x -mn или 1/x .

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть "-", то он должен быть изменен на "+" всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a 3 есть +a 6 . Квадрат -a 3 есть -a 3 .-a 3 , которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a 6 .

2. Но куб -a 3 есть -a 9 . Для -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-ая степень -a 3 есть a 3n .

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n – чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a 2 /b 2 . Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .

Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x – 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x – 1/2) 2 = x 2 – 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 – x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадрат x – b/m есть x 2 – 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.

Так, в дроби ax -2 /y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax-2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дроби a/by 3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by2 = (a/b).(1/y 3 ) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax 3 /b = a/bx -3 . Для x 3 обратным есть x-3, что есть x 3 = 1/x -3 .

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

a– основание степени, действительное число ( R )

n – показатель степени, натуральное число ( n ϵ N )

Произведение степеней с одинаковым основанием:

Деление степеней с одинаковым основанием:

m" src="https://www-formula.ru/images/geometry/algebra/delenie-stepenei-1.png" alt="Деление степеней, если n > m" border="0" /> если n > m

если n = m

если n m

Возведение степени в степень:

Формула возведения степени в степень

Возведение степени в степень это перемножение показателей степеней, при неизменном основании.
a – любое число,
n, k – натуральное число.

Найти возведение степени в степень по формуле с калькулятором онлайн

Примеры возведения степени в степень

1. (b 3 ) 6 = b 3 • 6 = b 18 ;
b 18 = (b 6 ) 3 = (b 2 ) 9 = (b 9 ) 2 ;
18 = 3 • 6 = 6 • 3 = 2 • 9 = 9 • 2 ;
a = b ;
n = 3 ;
k = 6 ;

2. (a 3 ) 7 = a 3 • 7 = a 21 ;
a 21 = (a 7 ) 3 ;
a = a ;
n = 3 ;
k = 7 ;

3. (y 2 ) 8 = y 16 = (y 4 ) 4 = y 16 ;
a = y ;
n = 2;
k = 8 ;

4. (2 3 ) 4 = 2 3 • 4 = 2 12 = 4 096 ;
a = 2 ;
n = 3 ;
k = 4 ;


Комментарии
  1. Елена Петровна () Только что
    Спасибо Вам огромное! Полностью вылечила гипертонию с помощью NORMIO.
  2. Евгения Каримова () 2 недели назад
    Помогите!!1 Как избавиться от гипертонии? Может какие народные средства есть хорошие или что-нибудь из аптечных приобрести посоветуете???
  3. Дарья () 13 дней назад
    Ну не знаю, как по мне большинство препаратов - полная фигня, пустатая трата денег. Знали бы вы, сколько я уже перепробовала всего.. Нормально помог только NORMIO (кстати, по спец. программе почти бесплатно можно получить). Пила его 4 недели, уже после первой недели приема самочувствие улучшилось. С тех пор прошло уже 4 месяца, давление в норме, о гипертонии и не вспоминаю! Средство иногда снова пью 2-3 дня, просто для профилактики. А узнала про него вообще случайно, из этой статьи..

    P.S. Только вот я сама из города и у нас его в продаже не нашла, заказывала через интернет.
  4. Евгения Каримова () 13 дней назад
    Дарья, киньте ссылку на препарат!
    P.S. Я тоже из города ))
  5. Дарья () 13 дней назад
    Евгения Каримова, так там же в статье указана) Продублирую на всякий случай - официальный сайт NORMIO.
  6. Иван 13 дней назад
    Это далеко не новость. Об этом препарате уже все знают. А кто не знает, тех, видимо давление не мучает.
  7. Соня 12 дней назад
    А это не развод? Почему в Интернете продают?
  8. юлек36 (Тверь) 12 дней назад
    Соня, вы в какой стране живете? В интернете продают, потому-что магазины и аптеки ставят свою наценку зверскую. К тому-же оплата только после получения, то есть сначала получили и только потом заплатили. Да и в Интернете сейчас все продают - от одежды до телевизоров и мебели.
  9. Ответ Редакции 11 дней назад
    Соня, здравствуйте. Средство от гипертонии NORMIO действительно не реализуется через аптечную сеть и розничные магазины во избежание завышенной цены. На сегодняшний день оригинальный препарат можно заказать только на специальном сайте. Будьте здоровы!
  10. Соня 11 дней назад
    Извиняюсь, не заметила сначала информацию про наложенный платеж. Тогда все в порядке точно, если оплата при получении.
  11. александра 10 дней назад
    чтобы капли помогли? да ладно вам, люди, не дошла еще до этого промышленность
  12. Елена (Сыктывкар) 10 дней назад
    Случайно набрела на эту статью. И что я вижу!! Рекламируют наш NORMIO! Ну не в смысле мой, а в том плане, что я мужу его покупала. Он не знает, что я здесь пишу, но все-таки поделюсь. Это ж и моя радость, скорее даже полностью мое счастье! Короче, я вот тоже читала отзывы, смотрела как и что и заказала это средство. А то мой муж уже весь отчаялся, уже много лет было давление 180 на 110! Таблетки разные пил от этого у него с желудком проблемы были, а давление все равно было высокое. Решали чего дальше делать. А тут в общем начал NORMIO пить и теперь ура! Никаких проблем у него, давление в норме, всегда бодр и активен!
  13. Павел Солонченко 10 дней назад
    Подтверждаю, этот препарат действительно помогает! Вылечил свою гипертонию всего за 4 недели! До этого 4 года мучался от постоянного давления, головных болей и т.д. Спасибо большое!
  14. Юлия Л 10 дней назад
    С трудом верится... но столько людей говорит что работает, должно работать. Я завтра начинаю!
  15. Оксана (Ульяновск) 8 дней назад
    Хочу постараться избавиться от гипертонии побыстрее, а главное как-нибудь попроще и безболезненно, посоветуйте что-нибудь.
  16. Дмитрий (врач Кардиолог) 8 дней назад
    Валерия, лучший вариант - обратиться к врачу! Но если нет времени на поход в поликлинику, подойдет и NORMIO, который уже советовали выше. В последнее время многим его назначаю, результаты очень хорошие! Выздоравливайте.
  17. Оксана (Ульяновск) 8 дней назад
    Спасибо огромное за ответ, заказала!
  18. Наташа 5 дней назад
    У мужа гипертония, бегаем по врачам вместе. Люблю его, жизнь отдам за него, но никак не могу облегчить его страдания. Ладно, теперь Вы со своей историей появились, для нас появилась надежда. А то уже все перепробовали.
  19. Валера () 5 дней назад
    Совсем недавно хотел снова обратиться к врачам, уже к хирургу решился пойти, кругленькую сумму приготовил, но сейчас мне это не нужно! 2 месяца – и я здоров, прикиньте. Так что, народ, не дурите, никакие таблетки не по-мо-гут! Только это природное средство, других способов я не знаю, да и не хочу знать уже



Adblock detector