Признаки деления на 3 и на 9

Рассмотрим простенькую задачу. В одном хозяйстве было собрано утром 846 куриных яиц. Хозяйство это было общим, его содержит 9 семей. Надо разделить между ними поровну все яйца. Как проверить, не выполняя деление, делится ли число 846 на 9 без остатка.

Сначала разложим данное число по разрядам. Число 846 состоит из 8 сотен, 4 десятков и 6 единиц.

Начнем разбираться с сотнями. Если в 100 яиц раскладывать по девяти корзинам, то у нас останется одной яйцо лишнее. То есть с каждой сотни яиц будет 1 яйцо. Так как у нас 8 сотен целых, то следовательно останется 8 яиц.

Теперь разберемся с десятками. Если десять яиц раскладывать по девяти корзинам, то тоже останется одно лишнее яйцо, с каждого десятка. Так как в нашем числе десятков 4, то следовательно останется 4 яйца.

6 яиц которые были в разряде единиц, мы никак не сможем разложить по девяти корзинам, следовательно они тоже останутся.

Теперь сложим все яйца, которые у нас остались. 8 от сотен, 4 от десятков и 6 от единиц, в сумме 8+4+6=18 яиц. 18 яиц можно разложить по девяти корзинам, и не останется ни одного лишнего яйца. Следовательно 846 яиц можно разложить поровну по девяти корзинам. Это значит, что число 846 делится без остатка на 9.

Признак делимости на 9

Теперь, можем сформулировать признак делимости числа на 9.

• Если сумма цифр числа делится без остатка на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится без остатка на 9, то и само число не будет делиться на 9 без остатка.

Приведем несколько примеров:

Число 76 005 будет делиться без остатка на 9, так как сумма составляющих его цифр: 7+6+0+0+5=18 делится на 9 без остатка.

Число 51 734 не делится без остатка на 9, так как сумма составляющих его цифр: 5+1+7+3+4=20 не делится на 9 без остатка.

Признак делимости на 3

Аналогичным образом получим признак делимости числа на 3.

От деления сотни на 3, будет оставаться единица. От деления десятки на 3, тоже будет оставаться единица. Получаем копию ситуации с девяткой.

• Если сумма цифр числа делится без остатка на 3, то и само число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится без остатка на 3, то и само число не будет делиться на 3 без остатка.

Число 76 005 будет делиться без остатка на 3, так как сумма составляющих его цифр: 7+6+0+0+5=18 делится на 3 без остатка.

Число 51 734 не делится без остатка на 3, так как сумма составляющих его цифр: 5+1+7+3+4=20 не делится на 3 без остатка.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Признаки делимости на 2, на 5 и на 10: рассуждаем логически и даем ответ!
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПростые и составные числа: разложение чисел на простые множители

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр кратна трем. Число 762 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр: 7 + 6 + 2 = 15 — кратна 3 ( 15 : 3 = 5 ). Число 4587 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр: 4 + 5 + 8 + 7 = 24 — кратна 3 ( 24 : 3 = 8 ). Число 3572 не кратно 3, так как сумма его цифр: 3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 3 без остатка ( 17 : 3 = 5

).

Признак делимости на 9 такой же, как и на 3. Натуральное число
делится на 9 без остатка, если сумма его цифр кратна девяти.

Число 765 делится на 9 без остатка, так как сумма его цифр:
7 + 6 + 5 = 18 — кратна 9 ( 18 : 9 = 2 ).

Число 4698 кратно 9, так как сумма его цифр:
4 + 6 + 9 + 8 = 27 — делится на 9 без остатка ( 27 : 9 = 3 ).

Число 3572 не кратно 9, так как сумма его цифр:
3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 9 без остатка ( 17 : 9 = 1

8

9

).

которое делится на 3 без остатка.

1) 462 2) 346 3) 721 Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное девяти.

1) 468 2) 128 3) 296 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. которое делится на 9 без остатка.

1) 543 2) 736 3) 342 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем.

1) 561 2) 427 3) 832 Неверно. Не кликай на пустое поле. которое делится на 3 без остатка.

1) 914 2) 923 3) 915 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. которое делится на 9 без остатка.

1) 233 2) 2385 3) 5632 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное девяти.

1) 6245 2) 5454 3) 9812 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное трем.

1) 3514 2) 4178 3) 7800 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем.

Продолжаем изучать признаки делимости. На очереди признак делимости на 9. Сейчас мы дадим его формулировку, разберем примеры его применения для установления делимости на 9 данного целого числа и приведем доказательство признака делимости на 9 . В заключение остановимся на доказательстве делимости на 9 значений выражения с переменной при различных значениях переменной.

Навигация по странице.

Признак делимости на 9, примеры

Для начала сформулируем признак делимости на 9: если сумма цифр целого числа делится на 9 , то и само число делится на 9 ; если же сумма цифр числа не делится на 9 , то это число не делится на 9 .

Из приведенной формулировки понятно, что для использования признака делимости на 9 необходимо знать, как выполняется сложение натуральных чисел. Еще для применения признака делимости на 9 нужно знать, что из однозначных натуральных чисел на 9 делится только число 9 , а числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и 8 на 9 не делятся.

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 9.

Какие из чисел 621 , −32 112 , 222 , −331 делятся на 9 ?

Вычислим суммы цифр каждого из данных чисел, имеем 6+2+1=9 , 3+2+1+1+2=9 , 2+2+2=8 и 3+3+1=7 . Так как 9 делится на 9 , а 8 и 7 не делятся на 9 , то признак делимости на 9 позволяет утверждать, что 621 и −32 112 делятся на 9 , а числа 222 и −331 – нет.

В более сложных случаях сумма цифр данного целого числа может быть двухзначным, трехзначным и т.д. числом. Например, сумма цифр числа 945 равна 18 , а сумма цифр числа 999 888 777 666 555 равна 105 . Для установления делимости на 9 в этих случаях признак делимости на 9 приходится применять несколько раз (точнее приходится несколько раз подряд вычислять суммы цифр получающихся чисел). Рассмотрим это на примере.

Делится ли число 876 505 998 872 на 9 ?

Воспользуемся признаком делимости на 9 . Для этого вычислим сумму цифр данного числа: 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74 . А делится ли 74 на 9 ? Для ответа на этот вопрос вычислим сумму цифр числа 74 , имеем 7+4=11 , а сумма цифр числа 11 в свою очередь равна 1+1=2 . Так как 2 не делится на 9 , то по признаку делимости на 9 и число 11 не делится на 9 , следовательно, на 9 не делится и 74 , а значит, и исходное число.

Отметим также, что проверить способность данного числа делиться на 9 можно, непосредственно разделив данное число на 9 (удобнее всего выполнить деление столбиком). Достаточно часто на выполнение непосредственного деления уходит примерно столько же времени, как и на применение признака делимости на 9 .

Доказательство признака делимости на 9

Для доказательства признака делимости на 9 нам потребуются несколько вспомогательных результатов. Обговорим их.

Любое натуральное число a мы можем разложить по разрядам, после чего правила умножения натурального числа на 10, 100, 1 000 позволяют нам записать представление числа a вида a=a_n·10 n +a_n−1·10 n−1 +…+a₂·10 2 +a₁·10+a , где a_n, a_n−1, …, a – цифры, стоящие слева направо в записи числа a . Так как 10=9+1 , 100=99+1=11·9+1 , 1 000=999+1=111·9+1 , …, то представление числа a примет вид . После небольших преобразований приходим к равенству вида . Сумма представляет собой сумму цифр числа a . Обозначим ее для краткости буквой A , тогда . Это представление числа a мы и будем использовать при доказательстве признака делимости на 9 .

Также нам пригодятся два свойства делимости:

• чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Вот теперь можно провести доказательство признака делимости на 9. Для удобства перепишем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 9 .

Для делимости целого числа a на 9 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в записи числа a делилась на 9 .

Для a=0 теорема очевидна.

Для a , отличных от нуля, модуль числа a является числом натуральным, поэтому его можно представить в виде суммы , что мы показали перед теоремой. В выражении содержится множитель 9 , а сумма в скобках является натуральным числом при любых a_n, a_n−1, …, a₁ , поэтому в силу свойств делимости указанное выражение делится на 9 .

Приступаем к доказательству достаточности. Докажем, что если сумма цифр числа a (которую мы обозначили как A ) делится на 9 , то число a делится на 9 .

Если A делится на 9 , то из равенства и второго указанного перед теоремой свойства делимости следует, что модуль a делится на 9 , откуда в силу первого указанного перед теоремой свойства делимости следует, что и a делится на 9 . Так доказана достаточность.

Переходим к доказательству необходимости. Докажем, что если целое число a делится на 9 , то сумма его цифр делится на 9 .

Если a делится на 9 , то и модуль числа a делится на 9 (по первому указанному перед теоремой свойству делимости). Тогда из равенства и второго указанного свойства делимости следует, что А делится на 9 . Так доказана необходимость.

На этом доказательство признака делимости на 9 завершено.

Другие случаи делимости на 9

В этом пункте мы хотим затронуть примеры доказательства делимости на 9 , когда число задано в виде значения буквенного выражения при некоторых значениях переменной.

Делится ли 10 n −1 на 9 при любом натуральном n ?

Достаточно очевидно, что . Сумма цифр числа равна 9·n , а 9·n делится на 9 , следовательно, по признаку делимости на 9 можно говорить о делимости 10 n −1 на 9 при любом натуральном n .

Однако во многих случаях воспользоваться признаком делимости на 9 не представляется возможности, также как и выполнить деление на 9 . В таких случаях логично попробовать представить исходное выражение в виде произведения нескольких целых множителей, один из которых делится на 9 . Покажем два способа получения такого произведения.

Иногда получить произведение нужного вида позволяет формула бинома Ньютона. Рассмотрим пример.

Делится ли на 9 при любом натуральном n ?

Представим 4 как 3+1 , применим формулу бинома Ньютона и проведем преобразования:

При n=1 имеем , а 9 делится на 9 . При натуральных n , больших единицы, в полученной сумме можно вынести 9 за скобки, при этом мы придем к произведению . Это произведение делится на 9 , так как содержит множитель 9 , а значение выражения в скобках при n>1 является натуральным числом. Таким образом, делится на 9 при любом натуральном n .

Когда исходное выражение с переменной n задано в виде многочлена, то можно пробовать такой подход. Если доказать, что при n=9·m , n=9·m+1 , …, n=9·m+8 , где m – целое число, исходное выражение делится на 9 , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 9 при любом целом n .

Докажите, что делится на 9 при любом целом n .

Для удобства разложим на множители выражение :

Пусть m – целое число.

При n=9·m получаем . Полученное произведение делится на 9 , так как множитель (9·m) 2 очевидно делится на 9 .

При n=9·m+1 имеем

Полученное произведение делится на 9 , так как содержит множитель 9 .

Аналогично показывается делимость на 9 выражения при n=9·m+2 , n=9·m+3 , …, n=9·m+8 .

Так доказана делимость на 9 значения исходного выражения при любом целом n .

Наконец, доказать делимость на 9 в некоторых случаях позволяет метод математической индукции. Вот тому подтверждение в виде примера.

Докажите, что при любом натуральном n делится на 9 .

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции.

При n=1 значение выражения равно 9 , и оно, очевидно, делится на 9 .

Предположим, что при n=k значение выражения делится на 9 , то есть, будем считать, что делится на 9 .

Исходя из предположения предыдущего шага, докажем, что делится на 9 при n=k+1 .

В полученной разности делится на 9 , так как мы предположили на предыдущем шаге, что делится на 9 ; а тоже делится на 9 , так как содержит множитель 9 . Следовательно, и вся разность делится на 9 , а значит и значение выражения при n=k+1 делится на 9 .

Так методом математической индукции доказано, что делится на 9 при любом натуральном n .